Accions

Nombre

De Wikisofia

(del llatí numerus)

En els seus inicis la noció de nombre s'associa a l'expressió de la quantitat capaç de poder comparar, explicar i ordenar, més enllà de les diferències qualitatives, realitats concretes diferents. Per això, les primeres manifestacions dels nombres són els enters positius (1, 2, 3, 4, 5, ...). No obstant això, diversos estudis antropològics han posat de manifest que en algunes societats primitives (de les selves del Brasil o entre els aborígens d'Austràlia, per exemple) es desconeix per complet la noció de nombre, i en unes altres no van més enllà de les nocions d'1, 2, 3, «molts», fet que destaca que és una noció elaborada que ha d'haver sorgit de forma relativament tardana en l'evolució cultural humana, encara que existeixen proves de sistemes de numeració anteriors al segon mil·lenni aC

Respecte del nombre són remarcables dos aspectes que van ser destacats des de l'antiguitat: d'una banda, el fet que un mateix nombre pugui aplicar-se a conjunts de coses diferents i, com a conseqüència d'això, el fet que les propietats de les relacions entre els nombres puguin valer per totes les realitats, de manera que sempre 7x + 5x = 12x, sigui el que sigui x i, per tant, en general, 7 + 5=12, on ja no es fa referència a cap objecte més que als nombres mateixos; i, d'altra banda, el que els numerals puguin tractar-se com a noms propis, com si «cinc», «set» o «dotze», tinguessin alguna classe d'existència.

____Pitàgores____

D'aquí es va inferir alguna espècie de realitat pròpia dels objectes matemàtics, que va conduir a alguns pitagòrics i a Plató a sostenir l'existència d'unes entitats intermèdies entre el nombre pròpiament dit i una espècie d'imatges seves capaces d'explicar com, encara que solament existeixi un únic nombre 2, pugui dir-se, per exemple, 2+2, o 3+3, com si hi hagués dos (o més) nombres 2 o dos (o més) nombres 3, etc. A més, el descobriment pitagòric que permetia la possibilitat d'expressar amb raons numèriques els intervals concordants de l'escala musical, va induir a aquests autors a pensar el nombre com una estructura immanent a les coses mateixes, de manera que consideren que és constitutiu de tot el real (veg. citació ). Aquesta concepció probablement procedeix de la possibilitat de considerar tot l'existent a partir d'un únic ἀρχή (arkhé) que, sent el mateix per a tot, fa que només pugui entendre's la multiplicitat i diversitat de l'existent per la manera d'estar estructurat. D'aquesta manera podien sostenir que tot l'existent ha de ser explicat a partir de la seva estructuració, la qual, en la mesura en què pot expressar-se matemàticament –com l'havia demostrat el descobriment de les raons numèriques que determinen l'harmonia musical– (raons 1:2, 3:2, 4:3), remet al nombre com a fonament, el qual, al seu torn, es funda sobre la díada del limitat i il·limitat (imparell-parell) (veg. citació).

Aquesta concepció conduirà als pitagòrics a una mística dels nombres, i a la tesi ontològica que sosté que tot s'engendra a partir dels nombres mateixos, constitutius de tot el real, i que tenen en la tetractys la seva forma màgica i sagrada. Per als pitagòrics els nombres engendren els punts, aquests les línies, que engendren les figures planes, que, en el seu moviment, generen els volums i els cossos sensibles –tesi que havia d'influir en Plató– (veg. textos ), de manera que, partint d'aquesta tesi deixen d'estudiar l'aspecte concret i físic del real per a centrar-se només en els aspectes formals de les relacions numèriques i les seves propietats. Ara bé, en la concepció pitagòrica els nombres són considerats com a sistema d'unitats, engendrats a partir de la unitat (de la mònada combinada amb l'il·limitat sorgeixen els nombres, deien). Aquesta forma d'entendre el nombre condueix a una concepció discreta o discontínua del món, ja que tot estaria format per addicions successives.

El descobriment de la incommensurabilitat de la diagonal i el costat del quadrat (en el cas d'un quadrat de costat 1 la seva diagonal és [math]\sqrt{2}[/math], que és el que expressa el teorema de Pitàgores), porta al descobriment dels nombres irracionals (que no tenen arrel exacta), fa entrar en crisi la concepció discreta del món dels pitagòrics, engendra una preocupació per a entendre la noció de continuïtat i, al mateix temps, fa pensar als filòsofs grecs que la geometria és més perfecta que l'aritmètica.

Des de llavors es divideix la matemàtica en dues branques: la geometria, estudi de la quantitat contínua, i l'aritmètica (del grec ἀριθμός «nombre»), que estudia la quantitat discreta. Si els pitagòrics concedien realitat ontològica als nombres, la posició de Plató i Aristòtil serà diferent, encara que el primer adopti moltes de les tesis pitagòriques (especialment la concepció del nombre com a límit de l'il·limitat i ordinador del cosmos), i els seus continuadors arribin a identificar les idees amb els nombres. Aristòtil afirma que els nombres són abstrets de les coses sensibles, però no poden separar-se d'elles. Defineix el nombre com una «multiplicitat discreta» o com una «pluralitat mesurada o pluralitat de mesures». D'aquesta concepció es desprèn que l'1 no és pròpiament un nombre –ja que no és una multiplicitat–, sinó només mesura del nombre (tampoc el 0 el seria, encara que aquest nombre no era conegut en l'antiguitat). Per això Aristòtil, en el context del seu estudi del temps, afirma que el nombre mínim en sentit absolut és la díada o el dos (veg. text), com ja ho havia assenyalat també en la Metafísica (veg. citació ) i, en, la Física, en el context del seu estudi de les dues classes d'infinit (veg. text).

A partir del segle XVII s'abandona tot realisme del nombre, i es tendeix a afirmar que el nombre és un acte del pensament, fruit d'una abstracció sobre les coses sensibles. D'aquesta manera, l'especulació sobre el nombre deixa d'estar centrada en els seus aspectes ontològics per a considerar fonamentalment els seus aspectes gnoseològics o epistemològics. De tota manera, si en general és cert que tota epistemologia pressuposa una ontologia, en el cas del nombre això és particularment clar, ja que, a pesar que en l'època moderna s'estudiï el nombre des d'una perspectiva epistemològica, molts són els autors que creuen implícitament en alguna classe de «realitat» extramental dels nombres. Al voltant de la noció de nombre es repetiran les mateixes pugnes entre l'empirisme i el racionalisme.

____Kant____

La posició més interessant en aquest període és l'oferta per Kant. Segons ell, a més d'assenyalar que els judicis matemàtics són tots sintètics (especialment els de la matemàtica pura són sintètics a priori), concep el nombre com l'esquema pur de la quantitat, de manera que no és d'origen estrictament empíric, sinó que és fruit d'una operació intel·lectual sobre la multiplicitat que ens ofereix la intuïció pura del temps, situant-se en el pla transcendental. Així, defineix el nombre –que igual que en el cas d'Aristòtil ho estudia en relació amb el temps–, com «la unitat de síntesi del divers d'una intuïció homogènia en general en introduir jo el temps mateix en l'aprehensió de la intuïció» (veg. text). D'aquesta manera, segons Kant, mentre la geometria té la seva fonamentació en la intuïció pura de l'espai, l'aritmètica es basa en la intuïció pura del temps. Des de la seva perspectiva dialèctica Hegel matisa la separació entre magnituds contínues i discretes i defineix al nombre simultàniament com a discret i continu (veg. citació).

____Bergson____

Des d'una perspectiva oposada a la de Kant, Bergson assenyala que el fonament del nombre no pot ser el temps, sinó que és l'espai. Ho argumenta assenyalant que la retenció i juxtaposició de les intuïcions que permeten formar la síntesi numèrica necessita l'espai, ja que en el temps no és possible una juxtaposició, sinó només una successió pura instantània. I aquesta, és diferent de la successió numèrica que implica la conservació de la successió i la juxtaposició. Per això, requereix una localització «ideal» dels elements de la successió (un «espai ideal») (veg. text). En aquesta concepció del nombre descansa la distinció que Bergson estableix entre dos diferents tipus de multiplicitat i la concepció bergsoniana de la duració real oposada al temps espacialitzat. Al seu torn, en aquesta oposició entre espacialitat i durada mostrada per la concepció del nombre (que sempre s'havia estudiat en relació amb el temps), veu Bergson l'origen d'una metafísica que desvirtua tota la realitat i que privilegia una ciència que està orientada a dominar la realitat en funció d'interessos socials i biològics, però que està condemnada a ser sempre convencionalista, i a la qual en certa mesura li està vedat el veritable coneixement, que només pot proporcionar la intuïció.

D'altra banda, autors com Stuart Mill defensen el caràcter estrictament empíric dels nombres, que seria obtingut per abstracció. A això, els que s'oposen a l'empirisme objecten que la possibilitat mateixa de l'abstracció que pot conduir a la noció de nombre ja ho pressuposa.

____J.Piaget____

Piaget, renovant en certa forma les tesis kantianes, considera que el nombre té una arrel empírica, però no de l'experiència directa de les coses, sinó que deriva de l'estructura del pensament sobre elles i, per tant, és fruit d'una operació intel·lectual que no es pot confondre ni amb la simple abstracció ni amb la simple experiència. Així, un nen que explica deu pedres i descobreix que sempre són deu, encara que permuti el seu ordre, no experimenta amb les pedres, sinó sobre les seves pròpies accions d'ordenació. Aquestes accions enriqueixen l'objecte amb propietats que no tenia per si mateix, i passaran a convertir-se en operacions interioritzades, de manera que, una vegada adquirides, «ja no tindrà necessitat d'experimentar per a comprovar que 10 és igual a 10 independentment de l'ordre seguit: ho deduirà per operacions lògiques», diu Piaget (veg. text).

____Frege____

Des de finals del segle XIX i començaments del XX les concepcions sobre el nombre reprodueixen diversos corrents (formalista, logicista, intuïcionista, convencionalista) que es van desenvolupar sobre la fonamentació de les matemàtiques. Així, autors com Frege, Whitehead, Russell o Peano, seguint un camí esbossat per Cantor i Dedekind, consideren el nombre com format a partir d'una relació biunívoca entre elements de classes diferents. Dues classes tenen el mateix nombre si tenen els mateixos elements i, en general, el nombre es defineix per aquesta relació de correspondència. De fet aquesta definició és l'establerta per Russell, qui la va extreure dels Grundlagen der Arithmetik de Frege, i textualment la formula de la manera següent: el nombre d'una classe és la classe de totes aquelles classes que són semblants a si mateixa i un nombre és qualsevol cosa que és el nombre d'alguna classe. Aquesta definició, que és aparentment circular, no ho és en realitat, doncs defineix «el nombre d'una classe donada» sense emprar la noció de nombre en general, raó per la qual pot definir el nombre en termes d'«el nombre d'una classe donada» sense caure en cap error lògic (veg. text).

____Russell____

Aquesta concepció extensional del nombre tenia l'avantatge de permetre eliminar qualsevol consideració psicologista d'aquest. És a dir, per a entendre el que és un nombre no cal recórrer a l'estudi dels mecanismes psicològics que puguin explicar la seva formació en un subjecte, sinó que poden definir-se en termes de classes i relacions de correspondència entre elles. A més, permetia expressar la noció de nombre i les seves relacions a través de la lògica de classes. Aquesta era la concepció «logicista» del nombre, però alguns avanços de la matemàtica semblaven fer-la impossible, raó per la qual els altres corrents (formalista, convencionalista i, sobretot, l'intuïcionisme d'Heyting i Brower), han donat altres concepcions del nombre. En aquesta direcció, a més de Poincaré, Brower també es va oposar a aquesta concepció reduccionista dels nombres a ens lògics. Brower va reprendre la reflexió kantiana del nombre, al que també concep com a fruit d'una intuïció temporal. Per a ell, és justament la intuïció del temps la que permet construir la successió infinita dels nombres naturals, el continu i els nombres reals. Posteriorment es va apartar d'aquesta concepció i va substituir la intuïció temporal per la intuïció de la multiunitat, encara que va seguir oposant-se a les tendències formalistes i logicistes.

La falta d'un acord ple en la definició d'aquesta noció permet que puguin seguir presentant-se diverses interpretacions. Per això s'afirma que més important que una definició de nombre, que és problemàtica, és la construcció i l'estructuració consistent dels sistemes numèrics.

Termes relacionats