Hilbert, David: axiomàtica

La geometria, el mateix que l'aritmètica, no exigeix per a la seva construcció lògica, més que un petit nombre de principis fonamentals simples. Aquests principis fonamentals són els anomenats axiomes de la geometria. L'exposició d'aquests axiomes i el seu examen profund és un problema que, des d'Euclides, ha constituït l'objecte de nombroses Memòries notables de la ciència matemàtica. Aquest problema porta a l'anàlisi lògica de la nostra intuïció de l'espai. La investigació que segueix és un nou assaig, la finalitat del qual és establir la geometria sobre un sistema simple i complet d'axiomes independents i deduir d'aquests els principals teoremes geomètrics, de tal manera que el rol dels diversos grups d'axiomes i l'abast de les conclusions que es treuen dels axiomes individuals s'aclareixin tant com sigui possible.

Capítol Primer

Els cinc grups d'axiomes

§ 1

Els elements de la geometria i els cinc grups d'axiomes

Convenció. Concebem tres diferents sistemes d'éssers: als éssers del PRIMER sistema els anomenarem punts i els designarem A,B,C...; als éssers del SEGON sistema els anomenarem rectes i els designarem per a, b, c,...; i als éssers del TERCER sistema els anomenarem plans i els designarem per ?, ?, ?...; els punts seran també anomenats elements de la geometria lineal; els punts i les rectes, elements de la geometria plana i els punts, les rectes i els plans, elements de la geometria de l'espai o elements de l'espai.

Concebem que els punts, les rectes i els plans tinguin entre si certes relacions mútues i designem aquestes relacions per paraules tals com: «estan situats», «entre», «paral·lela», «congruent» i «continu»; la descripció exacta i completa d'aquestes relacions té lloc per mitjà dels axiomes de la geometria.

Els axiomes de la geometria es divideixen en cinc grups. Cadascun d'aquests grups, pres individualment, expressa certes veritats fonamentals de la mateixa categoria, que deriven de la nostra intuïció.

Designarem aquests grups com segueix:

I,1-7: axioma d'associació.

II, 1-5: axioma de distribució.

III: axioma de les paral·leles (postulat d'Euclides).

IV, 1-6: axiomes de congruència.

V, : axioma de la continuïtat (axioma d'Arquimedes).

Citado por S. Daval-B. Guillemain, Filosofía de las ciencias, El Ateneo, Buenos Aires 1964, p. 127-148.

---

Original en castellà

La geometría, lo mismo que la aritmética, no exige para su construcción lógica, más que un pequeño número de principios fundamentales simples. Estos principios fundamentales son los llamados axiomas de la geometría. La exposición de estos axiomas y su examen profundo es un problema que, desde Euclides, ha constituido el objeto de numerosas Memorias notables de la ciencia matemática. Este problema lleva al análisis lógico de nuestra intuición del espacio. La investigación que sigue es un nuevo ensayo, cuya finalidad es establecer la geometría sobre un sistema simple y completo de axiomas independientes y deducir de éstos los principales teoremas geométricos, de tal manera que el rol de los diversos grupos de axiomas y el alcance de las conclusiones que se sacan de los axiomas individuales se aclaren tanto como sea posible.

Capítulo Primero

Los cincos grupos de axiomas

§ 1

Los elementos de la geometría y los cincos grupos de axiomas

Convención. Concibamos tres diferentes sistemas de seres: a los seres del PRIMERsistema los llamaremos puntos y los designaremos A,B,C,..; a los seres del SEGUNDOsistema los llamaremos rectas y los designaremos por a, b, c,...; y a los seres del TERCER sistema los llamaremos planos y los designaremos por ?, ?, ?...; los puntos serán también llamados elementos de la geometría lineal; los puntos y las rectas, elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos, elementos de la geometría del espacio o elementos del espacio.

Concibamos que los puntos, las rectas y planos tengan entre sí ciertas relaciones mutuas y designemos estas relaciones por palabras tales como: «están situados», «entre», «paralela», «congruente» y «continuo»; la descripción exacta y completa de estas relaciones tiene lugar por medio de los axiomas de la geometría.

Los axiomas de la geometría se dividen en cinco grupos. Cada uno de estos grupos, tomado individualmente, expresa ciertas verdades fundamentales de la misma categoría, que derivan de nuestra intuición.

Designaremos estos grupos como sigue:

I,1-7: axioma de asociación.

II, 1-5: axioma de distribución.

III: axioma de las paralelas (postulado de Euclides).

IV, 1-6: axiomas de congruencia.

V, : axioma de la continuidad (axioma de Arquímedes).