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Cita de M. Cohen i E. Nagel 1

De Wikisofia

El principi d'inducció matemàtica pot enunciar-se de la següent manera: si el número [math]1[/math] té una propietat, i pot provar-se que quan la té [math]n[/math] la té [math]n+1[/math], llavors la tenen tots els nombres enters. Basant-nos en ell, demostrem el següent teorema: per a tots els valors enters de

[math]n, 1+3+5+7+...(2_{n}-1) = n^{2}[/math]

Òbviament, és veritable per a [math]n =1[/math]. Demostrem ara que si és vàlid per a l'enter [math]n[/math], també ho és per a [math](n+1)[/math].

a) [math]1+3+5+...(2_{n}-1) = n^{2}[/math]

Si sumem a tots dos membres [math](2_{n}-1)+2[/math], o sigui [math](2_{n}+1)[/math], obtenim:

b)[math]1+3+5+7...(2_{n}-1)= n^{2}+ (2_{n}+1)= n^{2}+(2_{n}+1)=(n+1)^{2}[/math]

Però b té la mateixa forma que a. Per tant, hem demostrat que si el teorema és vertader per al número enter [math]n[/math], ho és també per a [math](n+1)[/math]. Ara bé, per a [math]n=1[/math] és vertader; per tant ho és també per a [math]n= 1+1[/math], o sigui [math]2[/math]; per tant, també ho és per a [math]n= 2+1[/math], o sigui [math]3[/math], i així successivament per a tot enter al que pugui arribar-se per successives addicions d'[math]1[/math].

M. Cohen y E. Nagel, Introducción a la lógica y al método científico, 2 vols., Amorrortu, Buenos Aires 1979, vol. 1, p. 174-175.

Original en castellà

El principio de inducción matemática puede enunciarse del siguiente modo: si el número [math]1[/math] tiene una propiedad, y puede probarse que cuando la tiene [math]n[/math] la tiene [math]n+1[/math], entonces la tienen todos los números enteros. Basándonos en él, demostremos el siguiente teorema: para todos los valores enteros de

[math]n, 1+3+5+7+...(2_{n}-1) = n^{2}[/math]

Obviamente, es verdadero para [math]n =1[/math]. Demostremos ahora que si es válido para el entero [math]n[/math], también lo es para [math](n+1)[/math].

a) [math]1+3+5+...(2_{n}-1) = n^{2}[/math]

Si sumamos a ambos miembros[math](2_{n}-1)+2[/math], o sea [math](2_{n}+1)[/math], obtenemos:

b)[math]1+3+5+7...(2_{n}-1)= n^{2}+ (2_{n}+1)= n^{2}+(2_{n}+1)=(n+1)^{2}[/math]

Pero b tiene la misma forma que a. Luego, hemos demostrado que si el teorema es verdadero para el entero n, lo es también para (n+1). Ahora bien, para n=1 es verdadero; luego lo es también para n= 1+1, o sea 2; luego, también lo es para n= 2+1, o sea 3, y así sucesivamente para todo entero al que pueda llegarse por sucesivas adiciones de 1.