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− | El principio de inducción matemática puede enunciarse del siguiente modo: si el número 1 tiene una propiedad, y puede probarse que cuando la tiene | + | El principio de inducción matemática puede enunciarse del siguiente modo: si el número <math>1</math> tiene una propiedad, y puede probarse que cuando la tiene <math>n</math> la tiene <math>n+1</math>, entonces la tienen todos los números enteros. Basándonos en él, demostremos el siguiente teorema: para todos los valores enteros de |
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− | Pero ''b'' tiene la misma forma que ''a''. Luego, hemos demostrado que si el teorema es verdadero para el entero ''n'', lo es también para (''n''1). Ahora bien, para ''n''=1 es verdadero; luego lo es también para n= | + | Si sumamos a ambos miembros<math>(2_{n}-1)+2</math>, o sea <math>(2_{n}+1)</math>, obtenemos: |
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+ | Pero ''b'' tiene la misma forma que ''a''. Luego, hemos demostrado que si el teorema es verdadero para el entero ''n'', lo es también para (''n''+1). Ahora bien, para ''n''=1 es verdadero; luego lo es también para n= 1+1, o sea 2; luego, también lo es para ''n''= 2+1, o sea 3, y así sucesivamente para todo entero al que pueda llegarse por sucesivas adiciones de 1. |
Revisió de 14:33, 13 juny 2018
El principio de inducción matemática puede enunciarse del siguiente modo: si el número [math]\displaystyle{ 1 }[/math] tiene una propiedad, y puede probarse que cuando la tiene [math]\displaystyle{ n }[/math] la tiene [math]\displaystyle{ n+1 }[/math], entonces la tienen todos los números enteros. Basándonos en él, demostremos el siguiente teorema: para todos los valores enteros de
Obviamente, es verdadero para [math]\displaystyle{ n =1 }[/math]. Demostremos ahora que si es válido para el entero [math]\displaystyle{ n }[/math], también lo es para [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math].
Si sumamos a ambos miembros[math]\displaystyle{ (2_{n}-1)+2 }[/math], o sea [math]\displaystyle{ (2_{n}+1) }[/math], obtenemos:
Pero b tiene la misma forma que a. Luego, hemos demostrado que si el teorema es verdadero para el entero n, lo es también para (n+1). Ahora bien, para n=1 es verdadero; luego lo es también para n= 1+1, o sea 2; luego, también lo es para n= 2+1, o sea 3, y así sucesivamente para todo entero al que pueda llegarse por sucesivas adiciones de 1.