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Els pitagòrics i les proporcions matemàtiques

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Els primers pitagòrics coneixien les tres proporcions matemàtiques següents

1) La proporció aritmètica

[math]a-b=b-c \frac{a-b}{b-c}= \frac{a}{a}= \frac{b}{b}= \frac{c}{c}=1 b=\frac{a+c}{2}[/math]

«El primer terme excedeix al segon en la mateixa quantitat que aquest excedeix al tercer»:

2) La proporció geomètrica

«El primer terme és al segon com aquest és al tercer»

[math]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} b^2 = ac \frac{a-b}{b-c}= \frac{a}{b}= \frac{b}{c} b= \sqrt[2]{ac} [/math]

3) La proporció harmònica

«Sigui el que sigui la part de si mateix que el primer terme excedeix al segon, el segon excedeix al tercer en una part igual d'aquest tercer»

[math]a = b+\frac{a}{n} b = c+\frac{c}{n} \frac{1}{c}-\frac{1}{b}= \frac{1}{a} \frac{a-b}{b-c}= \frac{a}{c} b= \frac{2ac}{a+c}[/math]

A.Pichot, La naissance de la science, 2 vols., Gallimard, París 1991, vol. 2, p. 143

A. Pichot, La naissance de la science, 2 vols., Gallimard, París 1991, vol. 2, p. 143.

Original en castellà

Los primeros pitagóricos conocían las tres proporciones matemáticas siguientes

1) La proporción aritmética

[math]a-b=b-c \frac{a-b}{b-c}= \frac{a}{a}= \frac{b}{b}= \frac{c}{c}=1 b=\frac{a+c}{2}[/math]

«El primer término excede al segundo en la misma cantidad que éste excede al tercero»:

2) La proporción geométrica

«El primer término es al segundo como éste es al tercero»

[math]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} b^2 = ac \frac{a-b}{b-c}= \frac{a}{b}= \frac{b}{c} b= \sqrt[2]{ac} [/math]

3) La proporción armónica

«Sea cual sea la parte de sí mismo en que el primer término excede al segundo, el segundo excede al tercero en una parte igual de este tercero»

[math]a = b+\frac{a}{n} b = c+\frac{c}{n} \frac{1}{c}-\frac{1}{b}= \frac{1}{a} \frac{a-b}{b-c}= \frac{a}{c} b= \frac{2ac}{a+c}[/math]

A.Pichot, La naissance de la science, 2 vols., Gallimard, París 1991, vol. 2, p. 143