Vlastos, Gregory: la fletxa

H1. La fletxa no pot moure's en un lloc en què no estigui.

H2. Però tampoc pot moure's en el lloc en què es troba.

H3. Perquè aquest lloc és un «lloc igual a ella mateixa».

H4. I qualsevol cosa està sempre en repòs quan ocupa un lloc «igual a ella mateixa»

H5. Però la fletxa en moviment està sempre en un lloc igual a ella mateixa.

H6. Per tant, la fletxa està sempre en repòs. [...]

La premissa H4 és el punt central de l'argument. Pot significar dues coses totalment diferents segons com llegim el «quan»:

H4i. Tota cosa es troba en repòs per a qualsevol interval de temps durant el qual ocupa un lloc «igual a ella mateixa».

H4ii. Tota cosa es troba sempre en repòs per a qualsevol instant (sense cap durada) en què ocupa un lloc «igual a ella mateixa».

La segona lectura ofereix l'explicació més simple del fet que Zenó pensés que la premissa (H4) era no solament veritable, sinó tan planament veritable que no necessitava aclariment alguna. Si imaginem la fletxa ocupant una posició donada –estant precisament en un lloc «igual a ella mateixa»– durant un simple instant de durada zero, és evident que, en aquest cas, no pot moure's. I si la fletxa no pot moure's, per ventura no està en repòs? Fins i tot avui dia moltes persones se sorprendrien amb aquesta pregunta i respondrien, sense cap classe de dubte, «sí».

Afortunadament, disposem de mitjans per a corregir l'error -per exemple, amb la fórmula tan coneguda de v=s/t. Com que un cos en repòs té velocitat zero i recorre una distància igual a zero, haurem d'aplicar valors de zero, tant per a v com per a s, per a representar el fet que el cos està en repòs. Però, en la hipòtesi que el cos en repòs per a un instant de durada zero, t hauria de tenir també valor zero, i llavors obtindríem v=0/0, la qual cosa és absurda, perquè 0/0 és un símbol que manca de sentit en aritmètica. L'única manera de tenir s/t=0 és assignant un valor major que zero a t,això és, representant-nos el cos en repòs durant algun interval de temps, per petit que sigui. Aristòtil va arribar al mateix resultat sense l'ajuda de l'àlgebra, valent-se només de l'anàlisi de l'instant en Física, llibre VI, mitjançant el qual va mostrar que «ni el moviment ni el descans són possibles en l'"ara"» [terme d'Aristòtil per l'instant] (Física 239b1-2; vegeu també 234a 24s).

Tanmateix, això no resoldria tampoc la nostra perplexitat, tret que s'apuntés, més explícitament del que ho fa Aristòtil, que no només és fals que pugui haver-hi moviment i repòs en un instant donat, sinó que també manca de sentit. La fletxa ni es mou ni descansa durant un instant de la mateixa manera que un punt no és ni recte ni corb. Perquè, d'una altra forma, l'observació d'Aristòtil, per a ser exactes, podria provocar simplement la pregunta: «Però si la fletxa no es mou per a un instant donat del seu vol, quan i com se les arregla per a moure's? El «quan» es respon breument dient: «Durant cert interval que conté l'instant donat». Però, pel «com», cal anar més al fons, exposant l'error categorial que s'amaga després de la pregunta. Però tampoc podem detenir-nos aquí. Cal explicar encara que, si bé manca de sentit parlar d'un moviment per (això és, durant) un instant, no en manca, i en té en grau excel·lent, referir-nos a un moviment en un instant, adoptant l'expressió «velocitat en l'instant i» per a significar el límit de la mitjana de velocitats durant els intervals que convergeixen a zero, contenint sempre a i. Això, vaga dir-ho, ens portaria molt lluny d'Aristòtil, per no parlar de Zenó, les nocions de la qual sobre el temps estaven tan allunyades de les d'Aristòtil com les d'Aristòtil ho estan de l'anàlisi moderna del moviment.

Zeno of Elea, en The Enciclopedy of Philosophy, 8 vols., dir. por P. Edwards, Macmillan, Nova York-Londres 1972, vol. 8, p. 374-375.

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Original en castellà

H1. La flecha no puede moverse en un lugar en que no esté.

H2. Pero tampoco puede moverse en el lugar en que se halla.

H3. Porque este lugar es un «lugar igual a ella misma».

H4. Y cualquier cosa está siempre en reposo cuando ocupa un lugar «igual a ella misma»

H5. Pero la flecha en movimiento está siempre en un lugar igual a ella misma.

H6. Por consiguiente, la flecha está siempre en reposo. [...]

La premisa H4 es el punto central del argumento. Puede significar dos cosas totalmente distintas según como leamos el «cuando»:

H4i. Toda cosa se halla en reposo para cualquier intervalo de tiempo durante el cual ocupa un lugar «igual a ella misma».

H4ii. Toda cosa se halla siempre en reposo para cualquier instante (sin duración alguna) en que ocupa un lugar «igual a ella misma».

La segunda lectura ofrece la explicación más simple del hecho de que Zenón pensara que la premisa (H4) era no solamente verdadera, sino tan llanamente verdadera que no necesitaba aclaración alguna. Si imaginamos la flecha ocupando una posición dada –estando precisamente en un lugar «igual a ella misma»– durante un simple instante de duración cero, es evidente que, en este caso, no puede moverse. Y si la flecha no puede moverse, ¿acaso no está en reposo? Incluso hoy día muchas personas se sorprenderían con esta pregunta y responderían, sin ninguna clase de duda, «sí».

Afortunadamente, disponemos de medios para corregir el error -por ejemplo, con la fórmula tan conocida de v=s/t. Puesto que un cuerpo en reposo tiene velocidad cero y recorre una distancia igual a cero, deberemos aplicar valores de cero, tanto para v como para s, para representar el hecho de que el cuerpo está en reposo. Pero, en la hipótesis de que el cuerpo en reposo para un instante de duración cero, t debería tener también valor cero, y entonces obtendríamos v=0/0, lo cual es absurdo, porque 0/0 es un símbolo que carece de sentido en aritmética. La única manera de tener s/t=0 es asignando un valor mayor que cero a t,esto es, representándonos el cuerpo en reposo durante algún intervalo de tiempo, por pequeño que sea. Aristóteles llegó al mismo resultado sin ayuda del álgebra, valiéndose sólo del análisis del instante en Física, libro VI, mediante el cual mostró que «ni el movimiento ni el descanso son posibles en el "ahora"» [término de Aristóteles por el instante] (Física 239b1-2; ver también 234a 24s).

Sin embargo, tampoco esto resolvería nuestra perplejidad, a menos que se apuntara, más explícitamente de lo que lo hace Aristóteles, que no sólo es falso que pueda haber movimiento y reposo en un instante dado, sino que también carece de sentido. La flecha ni se mueve ni descansa durante un instante de la misma manera que un punto no es ni recto ni curvo. Porque, de otra forma, la observación de Aristóteles, para ser exactos, podría provocar simplemente la pregunta: «Pero si la flecha no se mueve para un instante dado de su vuelo, ¿cuándo y cómo se las arregla para moverse? El «cuándo» se responde brevemente diciendo: «Durante cierto intervalo que contiene el instante dado». Pero, para el «cómo», hay que ir más al fondo, exponiendo el error categorial que se esconde tras la pregunta. Pero tampoco podemos detenernos aquí. Hay que explicar todavía que, si bien carece de sentido hablar de un movimiento para (esto es, durante) un instante, no carece del mismo, y lo tiene en grado excelente, referirnos a un movimiento en un instante, adoptando la expresión «velocidad en el instante i» para significar el límite del promedio de velocidades durante los intervalos que convergen a cero, conteniendo siempre a i. Esto, huelga decirlo, nos llevaría muy lejos de Aristóteles, para no hablar de Zenón, cuyas nociones sobre el tiempo estaban tan alejadas de las de Aristóteles como las de Aristóteles lo están del análisis moderno del movimiento.