Mostra la font per a Russell, Bertrand: la teoria de tipus

{{PendentRev}}{{RecursWiki
|Tipus=Extractes d'obres
}}
{{RecursBase
|Nom=Russell, Bertrand: la teoria de tipus
|Idioma=Español
}}
Sense entrar en difícils detalls tècnics, és possible explicar els principis generals de la teoria dels tipus. Potser el millor camí per a arribar a la teoria és l'examen del que significa «classe». Comencem amb un exemple casolà. Suposeu, al final del menjar, que el vostre amfitrió us ofereix una selecció de tres dolços diferents, demanant-vos que prengueu un, o dos, o els tres, com vulgueu. Quantes vies de conducta s'obren davant vosaltres? Podeu refusar els tres. Això és una elecció. Podeu prendre un d'ells. Això és possible en tres formes diferents, i, per tant, ens ofereix tres eleccions més. Podeu prendre dos d'ells. Això és possible, de nou de tres maneres diferents, O podeu prendre els tres, la qual cosa ens dóna una última possibilitat. El nombre total de possibilitats és, així, vuit; això és, . És fàcil generalitzar aquest procediment. Suposeu que teniu ''n ''objectes davant vosaltres i que voleu saber quantes maneres hi ha de triar-ne cap, alguns o tots els ''n'' objectes. Trobareu que el nombre de maneres és . Per dir-ho en llenguatge lògic: una classe de ''n '' termes té subclasses. Aquesta proposició és veritable encara que ''n'' sigui infinit. El que Cantor va demostrar és que, àdhuc en aquest cas, és major que ''n''. Aplicant això, com jo vaig fer, a totes les coses de l'univers, s'arriba a la conclusió que existeixen més classes de coses que coses. Se segueix que les classes no són «coses». Però, com ningú sap amb certesa el que en aquesta frase significa la paraula «cusi», no és molt fàcil enunciar amb exactitud què és el que s'ha demostrat. La conclusió a la qual vaig arribar és que les classes són merament conveniències del discurs. Ja estava una miqueta atordit pel tema de les classes en l'època en què vaig escriure ''Els principis de la matemàtica. ''No obstant això, en aquells dies em vaig expressar en llenguatge més realista (en el sentit escolàstic) del que ara estimaria apropiat. [...]

Ara expressaria el tema en forma alguna cosa diferent. Diria que, donada qualsevol funció proposicional, diguem ''fx'', existeix cert rang de valors de ''x '' pels quals aquesta funció és «significativa» -sigui veritable o falsa. Si ''a '' està en el rang, ''fa '' és una proposició veritable o falsa. A més de substituir la variable ''x '' per una constant, poden fer-se altres dues coses amb una funció proposicional: una és afirmar que sempre és veritable; l'altra, dir que algunes vegades és veritable. La funció proposicional «si ''x'' és humà, ''x'' és mortal», sempre és veritable; la funció proposicional «x és humà» és veritable de vegades. Hi ha, doncs, tres coses que poden fer-se amb una funció proposicional: la primera és substituir la variable per una constant; la segona és afirmar tots els valors de la funció, i la tercera és afirmar alguns valors o almenys un dels valors. La funció proposicional en si mateixa no és més que una expressió. No afirma ni nega res. Una classe, de la mateixa manera, és tan sols una expressió. És una manera convenient de parlar sobre els valors de la variable pels quals la funció és veritable.

Quant al tercer dels requisits que havia de reunir la solució, vaig insinuar una teoria que no sembla haver estat ben acollida per altres lògics, però que encara em sembla vàlida. Aquesta teoria era com segueix: quan afirmo tots els valors d'una funció ''fx'', els valors que ''x ''pot prendre han de ser definits, si el que estic afirmant ha de ser definit. És a dir, que ha d'haver-hi un determinat total de possibles valors de ''x. ''Si ara crec nous valors definits en termes d'aquest total, dit total apareix per això augmentat i, en conseqüència, els nous valors que a ell es refereixen es referiran a aquest total augmentat. Però ja que han de ser inclosos en la totalitat, mai puc aconseguir-los. El procediment és com tractar de saltar sobre l'ombra del propi cap. Podem donar un exemple senzill d'això amb la paradoxa del mentider. El mentider diu: «Tot el que afirmo és fals». Aquesta és, en realitat, una afirmació que ell fa, però es refereix a la totalitat de les seves afirmacions, i solament si incloem aquesta afirmació en la totalitat resulta la paradoxa. Haurem de distingir entre proposicions que es refereixen a un determinat total de proposicions, i proposicions que no ho fan. Les que es refereixen a una totalitat de proposicions mai poden ser membres de tal totalitat. Podem definir com a proposicions de primer ordre les que no es refereixen a una totalitat de proposicions; proposicions de segon ordre, a les quals es refereixen a totalitats de proposicions de primer ordre, i així successivament ''ad infinitum''. D'aquesta manera, el nostre mentider haurà de dir ara: «Estic afirmant una falsa proposició de primer ordre que és falsa». Però això és en si una proposició de segon ordre. I així, no està afirmant una proposició de primer ordre. El que diu és així simplement fals, i s'enfonsa l'argument que també és cert. Exactament el mateix raonament s'aplica a qualsevol proposició d'ordre superior.
{{Ref|Ref=''La evolución de mi pensamiento filosófico'', Alianza, Madrid, 1982 p. 81-84.|Títol=La evolución de mi pensamiento filosófico|Cita=true}}
{{InfoWiki}}