Diferència entre revisions de la pàgina «Exemple de prova indirecta ⧸ reducció a l'absurd»
De Wikisofia
m (bot: - ''c'', la qual cosa és absurd (fals). + ''c'', cosa que és absurda (falsa).) |
|||
| (6 revisions intermèdies per 3 usuaris que no es mostren) | |||
| Línia 1: | Línia 1: | ||
{{RecursWiki | {{RecursWiki | ||
|Tipus=Extractes d'obres | |Tipus=Extractes d'obres | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
}} | }} | ||
{{RecursBase | {{RecursBase | ||
| Línia 15: | Línia 7: | ||
}} | }} | ||
{{Exemple}} | {{Exemple}} | ||
| − | Sabem que per demostrar un teorema | + | Sabem que per a demostrar un teorema |
[1] <math>P\Longrightarrow{Q}</math> | [1] <math>P\Longrightarrow{Q}</math> | ||
| Línia 30: | Línia 22: | ||
| − | Ara bé, com <math>(R\wedge ¬R)</math> és un absurd, o sigui fals; perquè [3] sigui una tautologia haurà de ser <math>(P\wedge ¬Q)</math> fals, i com que <math>P</math> és veritat, | + | Ara bé, com que <math>(R\wedge ¬R)</math> és un absurd, o sigui fals; perquè [3] sigui una tautologia haurà de ser <math>(P\wedge ¬Q)</math> fals, i com que <math>P</math> és veritat, perquè és premissa del teorema [1], <math>¬Q</math> haurà de ser fals i, per tant, <math>Q</math> veritat, com es volia demostrar. |
De l'anterior podem concloure que la demostració del teorema [1] pot ser substituïda per la del | De l'anterior podem concloure que la demostració del teorema [1] pot ser substituïda per la del | ||
| Línia 36: | Línia 28: | ||
<math>(P\wedge ¬Q) \longrightarrow{(R\wedge ¬R)}</math> | <math>(P\wedge ¬Q) \longrightarrow{(R\wedge ¬R)}</math> | ||
| − | i que, per | + | i que, per tant: ''Si emprant com a premisses la hipòtesi i la negació de la tesi del teorema, arribéssim a una conclusió absurda o contradictòria, podrem donar per demostrat el teorema.'' |
Aquest tipus de demostració rep el nom de ''demostració per [[reducció a l'absurd|reducció a l'absurd]].'' | Aquest tipus de demostració rep el nom de ''demostració per [[reducció a l'absurd|reducció a l'absurd]].'' | ||
| Línia 55: | Línia 47: | ||
<math>(P\wedge ¬Q) \rightarrow{(R\wedge ¬R)}</math> | <math>(P\wedge ¬Q) \rightarrow{(R\wedge ¬R)}</math> | ||
| − | la demostració del qual és com segueix: Si les rectes ''a'' i ''b'' són paral·leles a una tercera ''c'', i les rectes ''a'' i ''b'' no fossin paral·leles entre si, | + | la demostració del qual és com segueix: Si les rectes ''a'' i ''b'' són paral·leles a una tercera ''c'', i les rectes ''a'' i ''b'' no fossin paral·leles entre si, és a dir, es tallessin en un punt, des d'aquest punt podríem traçar dues paral·leles a ''c'', cosa que és absurda (falsa). |
| − | {{Ref|Ref=A. Burgos, '' | + | {{Ref|Ref=A. Burgos, ''Iniciación a la lógica matemática'', Selecciones científicas, Madrid 1976, p. 52.|Cita=true}} |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | }} | ||
{{InfoWiki}} | {{InfoWiki}} | ||
Revisió de 15:42, 3 nov 2018
Sabem que per a demostrar un teorema
[1] [math]\displaystyle{ P\Longrightarrow{Q} }[/math]
n'hi ha prou amb provar que la proposició condicional
[2] [math]\displaystyle{ P\rightarrow{Q} }[/math]
és una tautologia. Però com, d'altra banda, la proposició condicional
[3] [math]\displaystyle{ (P\wedge ¬Q) \rightarrow{(R \wedge ¬R)} }[/math]
(on R és una proposició qualsevol), és equivalent a la [2], com es pot provar fàcilment amb la construcció de la taula de veritat adequada; podrem substituir la demostració del teorema [1] per la corresponent prova que el condicional [3] és una tautologia.
Ara bé, com que [math]\displaystyle{ (R\wedge ¬R) }[/math] és un absurd, o sigui fals; perquè [3] sigui una tautologia haurà de ser [math]\displaystyle{ (P\wedge ¬Q) }[/math] fals, i com que [math]\displaystyle{ P }[/math] és veritat, perquè és premissa del teorema [1], [math]\displaystyle{ ¬Q }[/math] haurà de ser fals i, per tant, [math]\displaystyle{ Q }[/math] veritat, com es volia demostrar.
De l'anterior podem concloure que la demostració del teorema [1] pot ser substituïda per la del
[math]\displaystyle{ (P\wedge ¬Q) \longrightarrow{(R\wedge ¬R)} }[/math]
i que, per tant: Si emprant com a premisses la hipòtesi i la negació de la tesi del teorema, arribéssim a una conclusió absurda o contradictòria, podrem donar per demostrat el teorema.
Aquest tipus de demostració rep el nom de demostració per reducció a l'absurd.
Exemple de reducció a l'absurd
Demostrar per reducció a l'absurd el teorema «Dues rectes a i b, paral·leles a una tercera c, són paral·leles entre si»
Resolució:
Si representem amb P i Q, respectivament, les proposicions «Dues rectes a i b són paral·leles a una tercera recta c» i «Les rectes a i b són paral·leles entre si», llavors P serà la hipòtesi i Q la tesi del teorema a demostrar
[math]\displaystyle{ P \longrightarrow{Q} }[/math]
Ara bé, sabem que la demostració d'aquest teorema pot ser substituïda per la del seu equivalent
[math]\displaystyle{ (P\wedge ¬Q) \rightarrow{(R\wedge ¬R)} }[/math]
la demostració del qual és com segueix: Si les rectes a i b són paral·leles a una tercera c, i les rectes a i b no fossin paral·leles entre si, és a dir, es tallessin en un punt, des d'aquest punt podríem traçar dues paral·leles a c, cosa que és absurda (falsa).
| A. Burgos, Iniciación a la lógica matemática, Selecciones científicas, Madrid 1976, p. 52. |