Conseqüència lògica

Concepte fonamental de la lògica, relacionat amb el de deduïbilitat que defineix la propietat essencial dels raonaments vàlids i de les formes vàlides de raonar.

Exemple

La relació entre el concepte de conseqüència lògica i el de deduïbilitat es precisa de la següent manera

[math]\displaystyle{ A_1, A_2, ... A_n \models B }[/math] si, i només si [math]\displaystyle{ A_1, A_2, ... A_n \vdash B }[/math],

o bé , suposant [math]\displaystyle{ A_1, A_2, ... A_n = \Delta }[/math] i [math]\displaystyle{ B = \beta }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \models \beta }[/math] si i solament si [math]\displaystyle{ \Delta \vdash \beta }[/math]

Definida sintàcticament, una fórmula qualsevol B és una conseqüència lògica d'un conjunt ) de fórmules, si B és deduïble a partir del conjunt ).

Definida semànticament, una fórmula B és una conseqüència lògica d'un conjunt ) de fórmules si tota assignació o interpretació que fa veritable al conjunt ) fa també veritable a la fórmula B.

(El conjunt [math]\displaystyle{ \Delta = A_1, A_2, ... A_n }[/math] pot estar format per diverses fórmules, per una o per cap [math]\displaystyle{ \emptyset \models \Delta }[/math])

Definició semàntica

[math]\displaystyle{ A \models B }[/math], si i solament si la interpretació que fa verdadera al conjunt [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] també fa verdadera a [math]\displaystyle{ B }[/math]

Definició sintàctica

[math]\displaystyle{ \Delta \vdash B }[/math] si i solament si hi ha un procediment per a deduir [math]\displaystyle{ B }[/math] de [math]\displaystyle{ \Delta }[/math]

són correlatives, de manera que:

[math]\displaystyle{ \models B }[/math], si si solament si [math]\displaystyle{ \vdash B }[/math]

La conseqüència lògica entre enunciats o fórmules d'enunciat suposa que la forma de l'argumentació és vàlida, de manera que, sigui quina sigui la interpretació o assignació de valor que es dóna als seus termes o lletres d'enunciat, la veritat es transmet de les premisses a la conclusió: si les premisses són verdaderes, la conclusió ha de ser verdadera.