Mostra la font per a Arbres lògics, càlcul de

{{ConcepteWiki}}
[[càlcul lògic|Càlcul]] lògic introduït per I.B. Beth (1955), i adaptat per altres autors, com [[Autor:Hintikka, Jaakko|J. Hintikka]] i R. Smullyan, com a procediment per a decidir si una [[fórmula|fórmula]] és vàlida o no. Pertany als sistemes formals sintàctics (que no recorren al significat o [[interpretació|interpretació]] dels seus símbols), i es basa fonamentalment en la propietat d'[[inconsistència|inconsistència]] entre enunciats i que un raonament invàlid posseeix almenys un [[contraexemple|contraexemple]].

Segons aquest càlcul, la seqüència <math>A_1, A_2, A_n</math>, per tant <math>B</math> <br>
és un [[raonament|raonament]] vàlid si i només si el seu contraexemple,<br>
<math>A_1, A_2, A_n</math>, per tant  <math>no-B</math>, és inconsistent.

Si es vol construir una [[deducció|deducció]], s'escriu (com no-B) la ''negació de la conclusió''; si el que es vol provar és si una única fórmula és [[validesa|vàlida]], o tautològica, s'escriu (com no-B) la seva ''negació''.

S'estructura a manera d'arbre invertit, i d'aquí el seu nom, format per un conjunt finit de fórmules; les que componen el conjunt de [[premisses|premisses]] i la negació de la conclusió constitueixen el tronc; les derivacions d'aquestes segons les regles del mètode d'arbres formen les branques.

S'aplica una regla quan es transforma una fórmula donada en els seus components, segons determina la definició de la regla. Quan no hi ha més fórmules per a descompondre, s'acaba la ramificació de l'arbre. Llavors, apareixen dues possibilitats:

:1) que una(s) branca(s) (o totes) estigui(n) ''tancada(s)'': una branca està tancada quan en la seva ramificació (en la seva línia) ha aparegut una [[contradicció|contradicció]]; cosa que s'indica amb una X.
:
:2) que alguna branca (o totes) quedi ''oberta'': una branca està oberta quan en ella no apareix cap contradicció. Això indica que existeix alguna assignació de valors que satisfà (fa veritable a) la conclusió.


Una fórmula queda demostrada (sigui una fórmula [[tautologia|tautològica]], sigui la conclusió d'una [[deducció|deducció]]) quan de l'arbre pot tancar (marcant amb X) totes les seves branques. El procediment demostra que la negació de la fórmula que es vol deduir no és consistent, per a qualsevol valor, amb la resta de premisses, o que la negació de la fórmula el valor de la qual s'analitza és [[contradictoris|contradictòria]] per a qualsevol valor assignat a les seves lletres d'enunciat.

Un arbre es compon, per tant, de les [[premisses|premisses]] propostes i de la [[negació|negació]] de la conclusió suposada; de diferents aplicacions de les regles de transformació i de les expressions lògiques finals, tancades (amb X) o obertes.

Les '''regles del mètode d'arbres''', per la [[lògica|lògica d'enunciats]], són les següents:

[[File:4041.png|400px]]

'''Exemples:'''

1. Derivar ''s'' del següent conjunt de fórmules<br>
<center><math>(p\wedge ¬q)\rightarrow{s},  (q\rightarrow{r}),  (p\wedge r) \vdash s</math></center>

que pot ser la formalització del següent raonament:

«Si Anna canta i Raül no toca el piano, Anna desafina. Però Raül només

toca el piano si Berta no està present. Anna canta i Berta està present.

Per tant, Anna desafina»

[[File:4041B.png|400px]]

2. Per a les tautologies, 

'''Exemple 1'''

Sigui la tautologia <math>q\rightarrow{(q\vee t)}</math><br>

El seu arbre lògic és:

[[File:2307Scat.png|400px]]

Per tant, si <math>¬[q\rightarrow{(q\vee t)}]</math> és una contradicció, <math>q\rightarrow{(q\vee t)}</math> és una tautologia.


'''Exemple 2'''

Tot el que agrada o és il·legal, o immoral o engreixa. Prendre's un gelat és agradable. Prendre's un gelat no és il·legal ni immoral. Per tant, prendre's un gelat engreixa.

La seva formalització és:

[[File:2315I.png|400px]]


Vegeu [[lògica|arbres lògics]], en [[lògica|lògica d'enunciats]] i [[lògica|lògica de predicats]].


{{Etiqueta
|Etiqueta=Lògica
}}
{{InfoWiki}}