O'Hear: el teorema de Bayes

Sigui h la hipòtesi o teoria que se sotmet a prova, i els resultats de les proves i k el coneixement inicial sobre la hipòtesi anterior a les proves. Es pretén saber fins a quin punt pot dir-se que els resultats de les proves confirmen la hipòtesi o la fan probable (en el cas que les proves van a favor de la teoria). Escrivim aquest càlcul com

[math]\displaystyle{ P (h/i.k) }[/math]

això és, la probabilitat de la teoria, donats alhora les nostres proves noves i el rerefons inicial de coneixements. El teorema de Bayes afirma que la probabilitat de la hipòtesi, calculada a partir d'un determinat coneixement inicial, augmenta com més severes són les proves a què se sotmet la hipòtesi, i disminueix com més improbable sigui la hipòtesi mateixa segons el coneixement inicial que disposem: si, com va succeir amb l'observació de l'eclipsi total del sol en 1919 per Eddington, el resultat previst és improbable segons l'estat actual de coneixements, i així la prova destrueix tal estat, un resultat favorable augmenta la probabilitat de la teoria. Però la probabilitat de la teoria disminueix si la teoria en si mateixa és altament improbable d'acord amb el rerefons existent de coneixements. Formalment, segons una versió, el teorema de Bayes estableix:

[math]\displaystyle{ P (h/i.k)=\frac{P(i/h.k) x P(h/k)}{P(i/k)} }[/math]

En posar a prova una hipòtesi científica universal, P(i/h.k) valdrà generalment 1, quan la prova confirmadora i estarà normalment predita per la teoria h, raó per la qual és fàcil veure que P(h/i.k) augmentarà com més petit sigui P(i/k) i més gran sigui P(h/k).

El teorema de Bayes suggereix, per tant, que en ciència hem de procurar-nos teories que posseeixin certa probabilitat anterior relativa al que ja sabem, per després intentar sotmetre-les a proves rigoroses.

An Introduction to the Philosophy of Science, Clarendon Press, Oxford 1989, p. 47-48.

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Original en castellà

Sea h la hipótesis o teoría que se somete a prueba, e los resultados de las pruebas y k el conocimiento inicial sobre la hipótesis anterior a las pruebas. Se pretende saber hasta qué punto puede decirse que los resultados de las pruebas confirman la hipótesis o la hacen probable (en el supuesto de que las pruebas van a favor de la teoría). Escribimos este cálculo como

[math]\displaystyle{ P (h/e.k) }[/math]

esto es, la probabilidad de la teoría, dados a la vez nuestra pruebas nuevas y el trasfondo inicial de conocimientos. El teorema de Bayes afirma que la probabilidad de la hipótesis, calculada a partir de un determinado conocimiento inicial, aumenta cuanto más severas son las pruebas a que se somete la hipótesis, y disminuye cuanto más improbable sea la hipótesis misma según el conocimiento inicial de que disponemos: si, como sucedió con la observación del eclipse total del sol en 1919 por Eddington, el resultado previsto es improbable según el estado actual de conocimientos, con lo que la prueba destruye tal estado, un resultado favorable aumenta la probabilidad de la teoría. Pero la probabilidad de la teoría disminuye si la teoría en sí misma es altamente improbable de acuerdo con el trasfondo existente de conocimientos. Formalmente, según una versión, el teorema de Bayes establece:

[math]\displaystyle{ P (h/e.k)=\frac{P(e/h.k) x P(h/k)}{P(e/k)} }[/math]

Al poner a prueba una hipótesis científica universal, [math]\displaystyle{ P(e/h.k) }[/math] valdrá generalmente 1, en cuanto la prueba confirmadora e estará normalmente predichapor la teoría h, por lo que es fácil ver que [math]\displaystyle{ P(h/e.k) }[/math] aumentará cuanto menor sea [math]\displaystyle{ P(e/k) }[/math] y mayor sea [math]\displaystyle{ P(h/k) }[/math].

El teorema de Bayes sugiere, por tanto, que en ciencia debemos procurarnos teorías que posean cierta probabilidad anterior relativa a lo que ya sabemos, para luego intentar someterlas a pruebas rigurosas.

An Introduction to the Philosophy of Science, Clarendon Press, Oxford 1989, p. 47-48.